一个广义平面积分域的分析实例

发布于 2020-02-25  55 次阅读


原式:

\(\int \int \cdots \int _{\Omega }\left ( \left \lfloor X_{1} \right \rfloor +\left \lfloor X_{2} \right \rfloor+\left \lfloor X_{3} \right \rfloor+\cdots \left \lfloor X_{m} \right \rfloor\right )d\nu \)

\(\Omega =\left \{ \left ( X_{1},X_{2},X_{3},\cdots X_{m} \right ) \mid \left | X_{1} \right |+\left | X_{2} \right |+\left | X_{3} \right |+\cdots \left | X_{m} \right |\leqslant n\right \}
n,m\in \mathbb{N}^{*} \)

解:

原式=\(\sum_{i=0}^{m}\int \int \cdots \int _{\Omega }\left \lfloor X_{i} \right \rfloor d\nu\)

由于积分域关于原点对称,.所以\(X_{1},X_{2},X_{3},\cdots X_{m}\) 等价。

原式= \(m\int \int \cdots \int _{\Omega }\left \lfloor X_{i} \right \rfloor d\nu\)

用类似三维的分析方法来分析多维,用m- 1维广义平面对积分域划分,被积函数在每个积分域内的值恒定。

而这些广义平面就是x=-n, x=-n+1, ... x=n-1, x=n。

现在只要求出广义平面之间的积分域的体积就行了。

又:

由数学归纳法可知

\(\left | X_{1} \right |+\left | X_{2} \right |+\left | X_{3} \right |+\cdots \left | X_{m} \right |\leqslant n \)

所包含的体积为\(V_{m}(n)=\frac{(2n)^{m}}{m!}\)

证明:

一维体积就是区域长度,其值为2n,满足公式

假设n维体积为\(V_{m}(n)=\frac{(2n)^{m}}{m!}\)

则n+1维体积为\(2\int_{0}^{n}\frac{(2\left ( n-x \right )^{m})}{m!}d\chi =2\frac{2^{m+1}x^{m+1}}{\left (m+1 \right )!}\)

也满足体积公式

Q.E.D

以x1正负半轴将整个积分域分成两个部分,分别命名为左半积分域和右半积分域。

由\(\left | X_{1} \right |+\left | X_{2} \right |+\left | X_{3} \right |+\cdots \left | X_{m} \right |\leqslant n \)可知,

左半积分域和右半积分域的体积相等,皆为\(\frac{1}{2}V_{m}(n)\)

从x1轴正向到原点对左半积分域编号,第i个积分域的体积为\(\frac{2^{m-1}}{m!}\left ( i^{m}-(i-1)^{m} \right )\)

对应的函数值为n-i,所以左半积分域对应的积分值为\(\sum_{i=1}^{n}(n-i)\frac{2^{m-1}}{m!}\left ( i^{m}-(i-1)^{m} \right )\)

同理,

从x轴负向到原点对右半积分域编号,则右半积分域的积分值为\(-\sum_{i=1}^{n}(n-i+1)\frac{2^{m-1}}{m!}\left ( i^{m}-(i-1)^{m} \right )\)

求和得\(\frac{2^{m-1}}{m!}\sum_{i=1}^{n}\left ((i-1)^{m}- i^{m} \right )=-\frac{2^{m-1}n^{m}}{m!}\)

原式=\(-\frac{2^{m-1}n^{m}}{(m-1)!}\)

 

 

 

 

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